2012年6月23日土曜日

例外のない法則は存在するか

自己言及のパラドックスの一例として、「例外のない法則はない」があげられることがある。なぜならもしこの言明が普遍的に妥当するとすると、一種の法則になってしまうわけで、そうすると自分自身の例外、つまり例外のない法則があってしまうことになる。

もっとも、これがパラドックスになるには、「例外のない法則はない」が真である、という前提がいる。もし、これを認めなければこれはパラドックスではなく、例外のない法則があることの証明と見なせる。つまり背理法を使って、例外のない法則がないとすると、上の議論から例外のない法則があることになってしまって仮定と矛盾するから、仮定の否定、例外のない法則があるが成り立つ。


この手の議論は古代からいろいろあると思うし、ツッコミどころ満載だと思うのだけど、ここでは上の証明に含まれる具体例、という観点から考えてみたい。とは言うものの、上の証明は背理法を使っているので、そのままでは具体例を抽出できない。しかし証明を少し変えることで、具体例を与える証明を作ることができる。

まず、「何か(状況や立場によらず)例外のない法則が存在する」という文を考える。もし、これに例外があれば、「例外のない法則は存在しない」ことになる。しかしこれは上の議論からありえない。よって、この文自体が例外のない法則といえる。

つまり、上の証明に含まれる具体例は「何か(状況や立場によらず)例外のない法則が存在する」というこれまた自己言及的な文である。とすると、上の証明はあまり面白くないもののように私には思える。多分、本当に普遍的であることを示したいのは、数学とかある種の倫理規範とか言うものであるのだろうから。


(ちょっと論証に無理があったかな。)